При сложении степени

Содержание

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a3 и b2 есть a3 + b2.
Сумма a3 — bn и h5 -d4 есть a3 — bn + h5 — d4.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a3bn и 3a5b6 есть a3bn + 3a5b6.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из 2a4 3h2b6 5(a — h)6
Вычитаем -6a4 4h2b6 2(a — h)6
Результат 8a4 -h2b6 3(a — h)6

Или:
2a4 — (-6a4) = 8a4
3h2b6 — 4h2b6 = -h2b6
5(a — h)6 — 2(a — h)6 = 3(a — h)6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.

Первый множитель x-3 3a6y2 a2b3y2
Второй множитель am -2x a3b2y
Результат amx-3 -6a6xy2 a2b3y2a3b2y

Или:
x-3 ⋅ am = amx-3
3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a5b5y3.

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, an.am = am+n.

Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a2.a6 = a2+6 = a8. И x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

Первый множитель 4an b2y3 (b + h — y)n
Второй множитель 2an b4y (b + h — y)
Результат 8a2n b6y4 (b + h — y)n+1

Или:
4an ⋅ 2an = 8a2n
b2y3 ⋅ b4y = b6y4
(b + h — y)n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y)n+1

Умножьте (x3 + x2y + xy2 + y3) ⋅ (x — y).
Ответ: x4 — y4.
Умножьте (x3 + x — 5) ⋅ (2×3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a-n.am = am-n.

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a2 — b2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a2 — y2.
(a2 — y2)⋅(a2 + y2) = a4 — y4.
(a4 — y4)⋅(a4 + y4) = a8 — y8.

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a3b2 делённое на b2, равно a3.

Делимое 9a3y4 a2b + 3a2 d⋅(a — h + y)3
Делитель -3a3 a2 (a — h + y)3
Результат -3y4 b + 3 d

Или:
$\frac{9a^3y^4}{-3a^3} = -3y^4$
$\frac{a^2b + 3a^2}{a^2} = \frac{a^2(b+3)}{a^2} = b + 3$
$\frac{d\cdot (a — h + y)^3}{(a — h + y)^3} = d$

Запись a5, делённого на a3, выглядит как $\frac{a^5}{a^3}$. Но это равно a2. В ряде чисел
a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y3:y2 = y3-2 = y1. То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И an+1:a = an+1-1 = an. То есть $\frac{aa^n}{a} = a^n$.

Делимое y2m 8an+m 12(b + y)n
Делитель ym 4am 3(b + y)3
Результат ym 2an 4(b +y)n-3

Или:
y2m : ym = ym
8an+m : 4am = 2an
12(b + y)n : 3(b + y)3 = 4(b +y)n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a-5 на a-3, равен a-2.
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h2:h-1 = h2+1 = h3 или $h^2:\frac{1}{h} = h^2.\frac{h}{1} = h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a^4}{3a^2}$ Ответ: $\frac{5a^2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6x^6}{3x^5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a2/a3 и a-3/a-4 и приведите к общему знаменателю.
a2.a-4 есть a-2 первый числитель.
a3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель.
a3.a-4 есть a-1, общий числитель.
После упрощения: a-2/a-1 и 1/a-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a3/5a7 и 5a5/5a7 или 2a3/5a2 и 5/5a2.

5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

8. Разделите a4/y3 на a3/y2. Ответ: a/y.

9. Разделите (h3 — 1)/d4 на (dn + 1)/h.

Степень — свойства, правила, действия и формулы

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Оглавление:

  • Онлайн-калькулятор возведения в степень
  • Что такое степень числа
  • Таблица степеней от 1 до 10
  • Свойства степеней
  • Степень с отрицательным показателем
  • Степень с натуральным показателем
  • Дробная степень
  • Степень с иррациональным показателем
  • Заключение

>Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

  • 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
  • 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 279
10 100 1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m);
  • an : am = (a)(n-m);
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.

(23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43;
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3)2 = 22 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них;
  • затем возведение в степень;
  • потом выполнять действия умножения, деления;
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.150 = 1; (-4)0 = 1…и т. д.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 31 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
  • А˃1.

Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа;

  • 0˂А˂1.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r1 – в этом случае равно 3;

r2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1π = 1.

А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.

А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

В предыдущей статье мы рассказали, что из себя представляют одночлены. В этом материале разберем, как решать примеры и задачи, в которых они применяются. Здесь будут рассмотрены такие действия, как вычитание, сложение, умножение, деление одночленов и возведение их в степень с натуральным показателем. Мы покажем, как определяются такие операции, обозначим основные правила их выполнения и то, что должно получится в результате. Все теоретические положения, как обычно, будут проиллюстрированы примерами задач с описаниями решений.

Удобнее всего работать со стандартной записью одночленов, поэтому все выражения, которые будут использованы в статье, мы приводим в стандартном виде. Если изначально они заданы иначе, рекомендуется сначала привести их к общепринятой форме.

Правила сложения и вычитания одночленов

Наиболее простые действия, которые можно проводить с одночленами – это вычитание и сложение. В общем случае результатом этих действий будет являться многочлен (одночлен возможен в некоторых частных случаях).

Когда мы складываем или вычитаем одночлены, сначала записываем в общепринятой форме соответствующую сумму и разность, после чего упрощаем получившееся выражение. Если есть подобные слагаемые, их нужно привести, скобки – раскрыть. Поясним на примере.

Пример 1

Условие: выполните сложение одночленов −3·x и 2,72·x3·y5·z.

Решение

Запишем сумму исходных выражений. Добавим скобки и поставим между ними плюс. У нас получится следующее:

(−3·x)+(2,72·x3·y5·z)

Когда мы выполним раскрытие скобок, получится -3·x+2,72·x3·y5·z. Это многочлен, записанный в стандартной форме, который и будет результатом сложения данных одночленов.

Ответ: (−3·x)+(2,72·x3·y5·z)=−3·x+2,72·x3·y5·z.

Если у нас задано три, четыре и больше слагаемых, мы осуществляем это действие точно так же.

Пример 2

Условие: проведите в правильном порядке указанные действия с многочленами

3·a2-(-4·a·c)+a2-7·a2+49-223·a·c

Решение

Начнем с раскрытия скобок.

3·a2+4·a·c+a2-7·a2+49-223·a·c

Мы видим, что полученное выражение можно упростить путем приведения подобных слагаемых:

3·a2+4·a·c+a2-7·a2+49-223·a·c==(3·a2+a2-7·a2)+4·a·c-223·a·c+49==-3·a2+113·a·c+49

У нас получился многочлен, который и будет результатом данного действия.

Ответ: 3·a2-(-4·a·c)+a2-7·a2+49-223·a·c=-3·a2+113·a·c+49

В принципе, мы можем выполнить сложение и вычитание двух одночленов с некоторыми ограничениями так, чтобы получить в итоге одночлен. Для этого нужно соблюсти некоторые условия, касающиеся слагаемых и вычитаемых одночленов. О том, как это делается, мы расскажем в отдельной статье.

Правила умножения одночленов

Действие умножения не налагает никаких ограничений на множители. Умножаемые одночлены не должны соответствовать никаким дополнительным условиям, чтобы в результате получится одночлен.

Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно выполнить следующие шаги:

  1. Правильно записать произведение.
  2. Раскрыть скобки в полученном выражении.
  3. Сгруппировать по возможности множители с одинаковыми переменными и числовые множители отдельно.
  4. Выполнить необходимые действия с числами и применить к оставшимся множителям свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Посмотрим, как это делается на практике.

Пример 3

Условие: выполните умножение одночленов 2·x4·y·z и -716·t2·x2·z11 .

Решение

Начнем с составления произведения.

2·x4·y·z·-716·t2·x2·z11

Раскрываем в нем скобки и получаем следующее:

2·x4·y·z·-716·t2·x2·z11

Далее нам нужно объединить числовые множители в одну группу, а потом сгруппировать множители с одинаковыми переменными:

2·-716·t2·x4·x2·y·z3·z11

Все, что нам осталось сделать – это умножить числа в первых скобках и применить свойство степеней для вторых. В итоге получим следующее:

2·-716·t2·x4·x2·y·z3·z11=-78·t2·x4+2·y·z3+11==-78·t2·x6·y·z14

Ответ: 2·x4·y·z·-716·t2·x2·z11=-78·t2·x6·y·z14 .

Если у нас в условии стоят три многочлена и больше, мы умножаем их по точно такому же алгоритму. Более подробно вопрос умножения одночленов мы рассмотрим в рамках отдельного материала.

Правила возведения одночлена в степень

Мы знаем, что степенью с натуральным показателем называют произведение некоторого числа одинаковых множителей. На их количество указывает число в показателе. Согласно этому определению, возведение одночлена в степень равнозначно умножению указанного числа одинаковых одночленов. Посмотрим, как это делается.

Пример 4

Условие: выполните возведение одночлена −2·a·b4 в степень 3.

Решение

Мы можем заменить возведение в степень на умножение 3-х одночленов −2·a·b4. Запишем и получим нужный ответ:

(−2·a·b4)3=(−2·a·b4)·(−2·a·b4)·(−2·a·b4)==((−2)·(−2)·(−2))·(a· a· a)·(b4·b4·b4)=−8·a3·b12

Ответ: (−2·a·b4)3=−8·a3·b12.

А как быть в том случае, когда степень имеет большой показатель? Записывать большое количество множителей неудобно. Тогда для решения такой задачи нам надо применить свойства степени, а именно свойство степени произведения и свойство степени в степени.

Решим задачу, которую мы привели выше, указанным способом.

Пример 5

Условие: выполните возведение −2·a·b4 в третью степень.

Решение

Зная свойство степени в степени, мы можем перейти к выражению следующего вида:

(−2·a·b4)3=(−2)3·a3·(b4)3.

После этого мы возводим в степень -2 и применяем свойство степени в степени:

(−2)3·(a)3·(b4)3=−8·a3·b4·3=−8·a3·b12.

Ответ: −2·a·b4=−8·a3·b12.

Возведению одночлена в степень мы также посвятили отдельную статью.

Правила деления одночленов

Последнее действие с одночленами, которое мы разберем в данном материале, – деление одночлена на одночлен. В результате мы должны получить рациональную (алгебраическую) дробь (в некоторых случаях возможно получение одночлена). Сразу уточним, что деление на нулевой одночлен не определяется, поскольку не определяется деление на 0.

Для выполнения деления нам нужно записать указанные одночлены в форме дроби и сократить ее, если есть такая возможность.

Пример 6

Условие: выполните деление одночлена −9·x4·y3·z7 на −6·p3·t5·x2·y2.

Решение

Начнем с записи одночленов в форме дроби.

Какие возможны действия со степенями?

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

  • 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
  • 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 279
10 100 1000

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m),
  • an : am = (a)(n-m),
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

  • 23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично:

  • 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
  • (23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
  • А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них,
  • затем возведение в степень,
  • потом выполнять действия умножения, деления,
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

  • A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

  • 1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

  • (A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

  • A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1… и т. д.
  • A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3 … и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот. Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
  • А˃1.
  • Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

  1. r1 – в этом случае равно 3,
  2. r2 – будет равно 4.
  3. Тогда, при А = 1, 1π = 1.
  4. А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.
  5. А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

  • Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3.
  • А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.
  • Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.
  • В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Возведение в степень

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136.

Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

  • am × an = a(m+n).

Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

  • (13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так: am / an = a(m – n).

Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так: (am)n = a(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь: 154 / 154.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150.

Следовательно: 154 / 154 = 150 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так: a0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

  • a-m = 1 / am

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

  • a-1 = 1 / a.

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка.

Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.

Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как: a(m/n) есть корень n-ной степени из am. Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

Рост = a × e(kt),

  • где a – начальное значение,
  • e – константа, равная 2,718;
  • k – коэффициент роста;
  • t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.

Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
am · an = am + n, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Примеры.

  • Упростить выражение.
    b · b2 · b3 · b4 · b5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b15
  • Представить в виде степени.
    615 · 36 = 615 · 62 = 615 · 62 = 617
  • Представить в виде степени.
    (0,8)3 · (0,8)12 = (0,8)3 + 12 = (0,8)15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (33 + 32) на 35. Это понятно, если
посчитать (33 + 32) = (27 + 9) = 36 , а 35 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= am − n, где «a» — любое число, не равное нулю, а «m», «n» — любые натуральные числа такие, что «m > n».

Примеры.

  • Записать частное в виде степени
    (2b)5 : (2b)3 = (2b)5 − 3 = (2b)2
  • Вычислить.

    113 · 4 2

    112 · 4

    = 113 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44

  • Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    38 : t = 34
    t = 38 : 34
    t = 38 − 4
    t = 34
    Ответ: t = 34 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

  • Пример. Упростить выражение.
    45m + 6 · 4m + 2 : 44m + 3 = 45m + 6 + m + 2 : 44m + 3 = 46m + 8 − 4m − 3 = 42m + 5
  • Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    512 · 4

    =

    512 · 4

    =

    29 · 22

    =

    29 + 2

    =

    = 211 − 5 = 2 6 = 64

Важно!

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (43 −42) на 41. Это понятно, если посчитать (43 −42) = (64 − 16) = 48, а 41 = 4

Будьте внимательны!

Свойство № 3
Возведение степени в степень

Запомните!

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
(an)m = an · m, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

  • Пример.
    (a4)6 = a4 · 6 = a24
  • Пример. Представить 320 в виде степени с основанием 32.

    По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Свойства 4
Степень произведения

Запомните!

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
(a · b)n = an · bn, где «a», «b» — любые рациональные числа; «n» — любое натуральное число.

  • Пример 1.
    (6 · a2 · b3 · c )2 = 62 · a2 · 2 · b3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a4 · b6 · с 2
  • Пример 2.
    (−x2 · y)6 = ( (−1)6 · x2 · 6 · y1 · 6) = x12 · y6

Важно!

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(an · bn)= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    24 · 54 = (2 · 5)4 = 104 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,516 · 216 = (0,5 · 2)16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 45 · 32 = 43 · 42 · 32 = 43 · (4 · 3)2 = 64 · 122 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

421 · (−0,25)20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25))20 = 4 · (−1)20 = 4 · 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)

Запомните!

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
(a : b)n = an : bn, где «a», «b» — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5 : 3)12 = 512 : 312

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Деление степеней с одинаковыми основаниями (формула )

1. Напоминание основных определений и теоремы 1

Основные определения:

Здесь a — основание степени,

n — показатель степени,

— n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

2. Разъясняющие задачи

Разъясняющие задачи

1)

2)

Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №2. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k таких, что n > k.

3. Доказательство теоремы 2 двумя способами

Доказательство теоремы 2.

Первый способ.

Воспользуемся теоремой 1. Применим ее для степеней и .

. Разделим обе части на .

Второй способ.

Доказательство основано на определении степени

Сократим k сомножителей.

То есть для любого а и любых натуральных n и k таких, что n > k.

4. Решение примеров на вычисление и упрощение с помощью теоремы 2

Пример 1: Вычислить.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 2.

а)

б)

Пример 2: Упростить.

а)

б)

в)

Пример 3: Решить уравнение.

а)

б)

5. Решение примеров на вычисление на совместное применение теорем 1 и 2

Пример 4: Вычислить:

Для решения следующих примеров будем пользоваться обеими теоремами.

а) =6 или быстрее =6

б) ==81 или быстрее =81

в) == или быстрее

6. Решение примеров на упрощение на совместное применение теорем 1 и 2

Пример 5: Упростить:

а) = или быстрее

б)

в) или быстрее

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

При сложении степени

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *