Когда дискриминант отрицательный то?

Содержание

Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение (b^<2>-4ac), где (a, b) и (c) – коэффициенты данного трехчлена.

Например, для трехчлена (3x^2+2x-7), дискриминант будет равен (2^2-4cdot3cdot(-7)=4+84=88). А для трехчлена (x^2-5x+11), он будет равен ((-5)^2-4cdot1cdot11=25-44=-19).

Дискриминант обозначается буквой (D) и часто используется при решении квадратных уравнений . Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график квадратичной функции (см. ниже).

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
– если (D) положителен – уравнение будет иметь два корня;
– если (D) равен нулю – только один корень;
– если (D) отрицателен – корней нет.

Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что квадратный корень из дискриминанта (то есть, (sqrt) входит в формулу для вычисления корней квадратного уравнения: (x_<1>=) (frac<-b+sqrt><2a>) и (x_<2>=) (frac<-b-sqrt><2a>) . Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит (x_<1>) и (x_<2>) будут различны по значению, ведь в первой формуле (sqrt) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+2x-3=0)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Найдем корни уравнения

Получили два различных корня из-за разных знаков перед (sqrt)

На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения. И это логично. Вдумайтесь – если уравнение (x^2+2x-3=0) имеет корни (x_<1>=1) и (x_<1>=-3), значит при подстановке (1) и (-3) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию (y=x^2+2x-3) получим (y=0). То есть, функция (y=x^2+2x-3) проходит через точки ((1;0)) и ((-3;0)) (подробнее смотри статью Как построить график функции ).

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: (x_<1>=) (frac<-b+sqrt><2a>) и (x_<2>=) (frac<-b-sqrt><2a>) . И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль. Тогда получается:

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2-4x+4=0)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Находим корни уравнения

Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс. Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция (y=x^2-4x+4) будет выглядеть вот так:

Если дискриминант отрицателен

В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+x+3=0)
Решение

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Находим корни уравнения

Оба корня содержат невычислимое выражение (sqrt<-11>), значит, и сами не вычислимы

То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение (x^2+x+3) получился ноль.

Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.

Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!

Как решать квадратные уравнения?

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас одно решение. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых.

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
; .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что – действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
; .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь – мнимая единица, ;
и – действительная и мнимая части корней:
; .
Тогда

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках.
При , график касается оси абсцисс в одной точке.
При , график не пересекает ось абсцисс.

Ниже приводятся примеры таких графиков.

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):

,
где
; .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

Найти корни квадратного уравнения:
(1.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
и .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции y = x 2 – 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Олег Одинцов . Опубликовано: 19-04-2016

Как объяснить ученику 8-9 класса, что такое дискриминант квадратного уравнения, как его получили, почему оно работает?

Alexander Vanetsev 8790 год назад Researcher, Institute of Physics, University of Tartu АВТОР ВОПРОСА ОДОБРИЛ ЭТОТ ОТВЕТ

На самом деле дискриминант — штука достаточно нетривиальная и объяснить его непросто. Для квадратного уравнения его довольно просто вывести, как Вам показали в комментариях, но это не очень объясняет, что он, собственно, такое и зачем его выводить (в принципе можно было бы не определять отдельно дискриминант, а сразу переходить к формуле вычисления корней кв. уравнения из его коэффициентов, не выделяя дискриминант, как что-то самостоятельное).

Дискриминант (от лат. discrimino — разделять, отделять) степенного уравнения вида a0+a1*x+a2*x(^2)+…+an*x(^n) = 0 представляет собой (внимание! читать внимательно!) произведение квадратов попарных разностей корней этого уравнения во всех возможных сочетаниях. То есть берем два любых корня уравнения, вычитаем друг из друга и возводим в квадрат, это один множитель. Потом берем другую пару, вычитаем друг из друга, возводим в квадрат — второй множитель. И так перебираем все возможные пары корней и получаем длинный (если n — велико) ряд множителей, которые все перемножаем друг на друга и еще в конце домножаем на an (коэффициент при старшей степени) в степени (2n-2).

Вот такой ужас в общем случае. В случае квадратного уравнения ax^2 + bx +с = 0 всё упрощается тем, что корня всего два: х1 и х2. Поэтому у нас будет всего два варианта разностей пар корней: (x1-x2) и (х2-х1). Дискриминант, таким образом, будет равен:

D = a^2**

(еще раз хочется сказать много теплых матерных слов разработчикам сайта, которые за хз сколько лет так и не сделали возможность верхних и нижних индексов)

Давайте посмотрим на эту формулу внимательно. Что можно про нее сказать? Во-первых, сразу видно, что если корни кв. уравнения совпадают (в общем случае уравнения n-ой степени — если хоть два из n корней совпадают), то дискриминант сразу обращается в ноль. Ненулевой дискриминант уравнения показывает нам, что все корни уравнения различны.
Дальше мы видим, что все множители, составляющие выражение дискриминанта, являются квадратами — квадрат коэффициента и квадраты разностей корней. Это значит, что если все корни уравнения являются действительными числами, то дискриминант никак не может быть меньше нуля, поскольку квадрат любого действительного числа, равно как и разности любых двух действительных чисел, — это обязательно положительное число (или ноль). То есть, если дискриминант меньше нуля, то хотя бы один из корней обязательно является комплексным числом. В случае квадратного уравнения — оба корня.

То есть, дискриминант есть некоторый математический инструмент, который позволяет подразделить (отсюда и название) все n-степенные уравнения на три вида: 1) те, у которых есть совпадающие действительные корни, 2) те, у которых все корни разные и все действительные, и 3) те, у которых все корни разные и некоторые из них комплексные. Это бывает очень полезно для различных практических задач, когда нужно быть уверенным, что все решения уравнения — это действительные числа, поскольку (например!) иначе уравнение не имеет физического смысла. Или нужно видеть, в каком случае задача вырождена (некоторые корни совпадают). И так далее.

Теперь относительно формулы вычисления значения дискриминанта из коэф. квадратного уравнения. Эта формула получена обратным путем и не несет какого-то своего собственного глубокого смысла. То есть, сначала вывели выражение для корней квадратного уравнения от коэффициентов (как Вам показали в комментариях к этому вопросу), потом поставили эти выражения для корней в формулу дикриминанта как произведения квадратов разностей пар корней (см. выше), возвели в степень/сложили/умножили/сократили и получилось вот это выражение, которое все учат в школе: D = b^2 — 4ac. Таким образом, оно никак не объясняет, что такое дискриминант. Это просто частный случай для квадратного уравнения, поскольку его (как и кубическое) еще можно решить алгебраически.

Дискриминант квадратного уравнения и его геометрический смысл

Одна из немногих формул, которую удается выучить к концу девятого класса практически всем ученикам, это формула нахождения дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения. И чаще всего для ученика эти формулы представляют собой набор заклинаний, не наполненных особым смыслом.

Общеизвестно, что графиком квадратичной функции является парабола, однако рискну предположить, что не каждый учитель сможет не задумываясь показать на графике отрезок, имеющий отношение к дискриминанту.

Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminans, отделяющий, разделяющий.

Попробуем разобраться, что же разделяет (или «дискриминирует») дискриминант. Согласно любому современному учебнику алгебры восьмого класса формула корней квадратного уравнения выводится путем выделения квадрата двучлена. В процессе выделения получается выражение D = b^2-4ac, которое и называют дискриминантом. Пример из учебника алгебры Бевз Г.П. (2016 год):

Обосновывается это название следующим образом:

Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней — ведь невозможно, чтобы квадрат некоторого вещественного выражения был отрицательным числом.

Если D = 0, то данное уравнение имеет один корень — ведь только квадрат нуля равен нулю.

Если D > 0, то данное уравнение имеет два корня.

В результате ученик вынужден заучивать не только формулы нахождения корней квадратного уравнения, но и эти три утверждения — взаимосвязь дискриминанта с количеством корней.

На мой взгляд, методически правильнее сначала довести разбор понятия «дискриминант» до логического конца, указав, что дискриминант равен квадрату расстояния между корнями уравнения.

Рассмотрим для простоты приведенное квадратного уравнение (напомню, что любое квадратное уравнение легко привести к приведенному виду, разделив все коэффициенты на старший коэффициент). Итак, с учетом теоремы Виета:

Таким образом, если корни приведенного квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта.

Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями. Вот что показывает дискриминант — насколько далеки корни друг от друга, если они существуют. А связь с количеством корней — это всего лишь следствие этого простого факта.

Теперь взаимосвязь между дискриминантом и количеством корней ясна как на ладони: если дискриминант равен нулю, то расстояние между корнями равно нулю, они совпадают — два корня, образно говоря, наложились друг на друга и превратились в один корень. Далее, расстояние не может быть меньше нуля, а значит, при отрицательном дискриминанте корней нет. Если же дискриминант строго положителен, то корней два и расстояние между ними как раз и равно корню из дискриминанта.

Эти выводы интуитивно понятны и не требуют отдельного заучивания. Более того, понимание геометрического смысла дискриминанта помогает упростить и ускорить нахождение самих корней.

Начинающий ученик действует обычно по следующей схеме:

1) определяет коэффициенты уравнения;

2) записывает формулу дискриминанта, подставляет в нее значения коэффициентов, вычисляет значение;

3) извлекает квадратный корень из дискриминанта;

4) записывает формулу корней и поочередно вычисляет каждый из них.

Шаг 4 можно упростить, найдя меньший корень и затем для нахождения большего корня останется только прибавить корень из дискриминанта — а он у нас уже посчитан на шаге 3.

(В случае неприведенного квадратного уравнения нужно не забыть корень из дискриминанта разделить на старший коэффициент).

Вывод. Знание геометрического смысла дискриминанта квадратного уравнения позволяет ученикам получить наглядное представление о взаимосвязи корней и коэффициентов уравнения, упростить расчеты, уменьшить объем заучиваемой информации.

Универсальным методом решения неравенств по праву считается метод интервалов. Именно его проще всего использовать для решения квадратных неравенств с одной переменной. В этом материале мы рассмотрим все аспекты применения метода интервалов для решения квадратных неравенств. Для облегчения усвоения материала мы рассмотрим большое количество примеров разной степени сложности.

Алгоритм применения метода интервалов

Рассмотрим алгоритм применения метода интервалов в адаптированном варианте, который пригоден для решения квадратных неравенств. Именно с таким вариантом метода интервалов знакомят учеников на уроках алгебры. Не будем усложнять задачу и мы.

Перейдем собственно к алгоритму.

У нас есть квадратный трехчлен a·x2+b·x+c из левой части квадратного неравенства. Находим нули из этого трехчлена.

В системе координат изображаем координатную прямую. Отмечаем на ней корни. Для удобства можем ввести разные способы обозначения точек для строгих и нестрогих неравенств. Давайте договоримся, что «пустыми» точками мы будем отмечать координаты при решении строгого неравенства, а обычными точками — нестрогого. Отметив точки, мы получаем на координатной оси несколько промежутков.

Если на первом шаге мы нашли нули, то определяем знаки значений трехчлена для каждого из полученных промежутков. Если нули мы не получили, то производим это действие для всей числовой прямой. Отмечаем промежутки знаками «+» или «-«.

Дополнительно мы будем вводить штриховку в тех случаях, когда будем решать неравенства со знаками > или ≥ и < или ≤. В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными «+», во втором над участками, отмеченными «-«.

Отметив знаки значений трехчлена и нанеся штриховку над отрезками, мы получаем геометрический образ некоторого числового множества, которое фактически является решением неравенства. Нам остается лишь записать ответ.

Остановимся подробнее на третьем шаге алгоритма, который предполагает определение знака промежутка. Существует несколько подходов определения знаков. Рассмотрим их по порядку, начав с наиболее точного, хотя и не самого быстрого. Этот метод предполагает вычисление значений трехчлена в нескольких точках полученных промежутков.

Пример 1

Для примера возьмем трехчлен x2+4·x−5.

Корни этого трехчлена 1 и -5 разбивают координатную ось на три промежутка (−∞, −5), (−5, 1) и (1, +∞).

Начнем с промежутка (1, +∞). Для того, чтобы упростить себе задачу, примем х=2. Получаем 22+4·2−5=7.

7 – положительное число. Это значит, что значения данного квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) положительные и его можно обозначить знаком «+».

Для определения знака промежутка (−5, 1) примем x=0. Имеем 02+4·0−5=−5. Ставим над интервалом знак «-«.

Для промежутка (−∞, −5) возьмем x=−6, получаем (−6)2+4·(−6)−5=7. Отмечаем этот интервал знаком «+».

Намного быстрее определить знаки можно с учетом следующих фактов.

При положительном дискриминанте квадратный трехчлен с двумя корнями дает чередование знаков его значений на промежутках, на которые разбивается числовая ось корнями этого трехчлена. Это значит, что нам вовсе не обязательно определять знаки для каждого из интервалов. Достаточно провести вычисления для одного и проставить знаки для остальных, учитывая принцип чередования.

При желании, можно и вовсе обойтись без вычислений, сделав выводы о знаках по значению старшего коэффициента. Если a>0, то мы получаем последовательность знаков +, −, +, а если a<0 – то −, +, −.

У квадратных трехчленов с одним корнем, когда дискриминант равен нулю, мы получаем два промежутка на координатной оси с одинаковыми знаками. Это значит, что мы определяем знак для одного из промежутков и для второго ставим такой же.

Здесь также применим метод определения знака на основе значения коэффициента a: если a>0, то будет +, +, а если a<0, то −, −.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то знаки его значений для всей координатной прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c.

Например, если мы возьмем квадратный трехчлен −4·x2−7, он не имеет корней (его дискриминант отрицательный). Коэффициент при x2 есть отрицательное число −4, и свободный член −7 тоже отрицателен. Это значит, что на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны.

Примеры решения квадратных неравенств

Рассмотрим примеры решения квадратных неравенств с использованием рассмотренного выше алгоритма.

Пример 2

Решите неравенство 8·x2−4·x−1≥0.

Решение

Используем для решения неравенства метод интервалов. Для этого найдем корни квадратного трехчлена 8·x2−4·x−1. В связи с тем, что коэффициент при х четный, нам будет удобнее вычислить не дискриминант, а четвертую часть дискриминанта: D’=(−2)2−8·(−1)=12.

Дискриминант больше нуля. Это позволяет нам найти два корня квадратного трехчлена: x1=2-129, x1=1-34 и x2=2+128, x2=1+34. Отметим эти значения на числовой прямой. Так как уравнение нестрогое, то на графике мы используем обычные точки.

Теперь по методу интервалов определяем знаки трех полученных интервалов. Коэффициент при x2 равен 8, то есть, положителен, следовательно, последовательность знаков будет +, −, +.

Так как мы решаем неравенство со знаком ≥, то изображаем штриховку над промежутками со знаками плюс:

Запишем аналитически числовое множество по полученному графическому изображению. Мы можем сделать это двумя способами:

(-∞; 1-34]∪∪[1+34, +∞) или x≤1-34, x≥1+34.

Пример 3

Выполните решение квадратного неравенства -17·x2+2·x-7<0 методом интервалов.

Решение

Для начала найдем корни квадратного трехчлена из левой части неравенства:

D’=12—17·-7=0x0=-1-17×0=7

Это строгое неравенство, поэтому на графике используем «пустую» точку. С координатой 7.

Теперь нам нужно определить знаки на полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞). Так как дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент отрицательный, то мы проставляем знаки −, −:

Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

В данном случае решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).

Ответ: (−∞, 7)∪(7, +∞) или в другой записи x≠7.

Пример 4

Имеет ли квадратное неравенство x2+x+7<0 решения?

Решение

Найдем корни квадратного трехчлена из левой части неравенства. Для этого найдем дискриминант: D=12−4·1·7=1−28=−27. Дискриминант меньше нуля, значит, действительных корней нет.

Графическое изображение будет иметь вид числовой прямой без отмеченных на ней точек.

Определим знак значений квадратного трехчлена. При D<0 он совпадает со знаком коэффициента при x2, то есть, со знаком числа 1, оно положительное, следовательно, имеем знак +:

Штриховку мы могли бы нанести в данном случае над промежутками со знаком «-«. Но таких промежутков у нас нет. Следовательно, чертеж сохраняет вот такой вид:

В результате вычислений мы получили пустое множество. Это значит, что данное квадратное неравенство решений не имеет.

Ответ: Нет.

Неравенства. Квадратные неравенства.

Квадратными неравенствами обозначают неравенства типа

ax2+bx+c> 0,ax2+bx+c< 0,ax2+bx + c>0, ax2+bx + c<0,

где a, b и с — числа и и а ≠ 0.

Квадратные неравенства еще называют неравенствами второй степени.

При решении квадратного неравенства следует вычислить корни идентичного квадратного уравнения ax2 +bx +c=0. Первоначально требуется вычислить дискриминант D заданного квадратного уравнения с помощью формулы

D= b2 -4ac.

В результате можем иметь нижеследующие варианты:

1) При D = 0 у квадратного уравнения один корень:

.

2) При D>0 у квадратного уравнения два корня. Парабола пересекает ось х в двух точках с абсциссами:

3) При D<0 у квадратного уравнения нет корней.

Следовательно, парабола размещена целиком выше оси х (при а>0), либо ниже (при a<0)

Смотря какие получены корни и знак коэффициента a допустимо одно из шести размещений графика функции ax2 +bx +c=у:

Если необходимо указать отрезок, на котором квадратный трехчлен положителен, то это отрезок расположен там, где парабола расположена над осью x. По аналогии если необходимо найти отрицательные значения, то берем отрезок, где парабола расположена под осью x

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое — не входят.

Так же следует отметить, что если дискриминант квадратного трехчлена ax2 +bx +c больше нуля, то этот трехчлен обретает как положительные, так и отрицательные значения. Если же дискриминант меньше нуля, то все значения квадратного трехчлена имеют один и тот же знак, соответственно знак коэффициента при x2.

При решении неравенства ax2 +bx +c > 0 не требуется тщательно строить параболу у= ax2 +bx +c по точкам (к примеру, вовсе нет необходимости вычислять вершину параболы, точку пересечения с осью у и т. д.). Допустимо упрощенно изобразить кривую. Точность необходима только при вычислении корней уравнения ax2 +bx +c=0 (при D > 0).

Когда дискриминант отрицательный то?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *