Как обозначают периметр

Урок математики во 2-м классе «Периметр»

Цели урока:

Образовательные:
-познакомить детей с понятием «периметр»;
-учить находить периметр заданных фигур;
-совершенствовать вычислительные навыки, навыки устного счёта.
Развивающие:
-развивать наблюдательность, мышление, внимание, память, речь;
-развивать организационные общеучебные умения (самооценку, самоконтроль, коррекцию собственных ошибок);
-развивать умение работать коллективно и самостоятельно.
Воспитательные:
-создание благоприятного психологического климата для возможности раскрытия потенциала каждого ребёнка;
-способствовать воспитанию доброты, умения радоваться успехам друзей.

Оборудование:

Математика 2 класс Б.П.Гейдман, И.Э.Мишарина, Е.А.Зверева издательство МЦНМО Москва 2007, на доске изображение Винни-Пуха, листочки с «магическим» квадратом для каждого учащегося.

Ход урока:

1. Организационный момент , сообщение темы и целей урока.

Ребята! Готовы вы к уроку (да)
На вас надеюсь я, друзья
Мы хороший дружный класс,
Всё получится у нас!

А теперь открываем тетради.

Я тетрадь свою открою
И с наклоном положу,
Я, друзья, от вас не скрою,
Ручку я вот так держу.
Сяду прямо, не согнусь,
За работу я возьмусь.

Сегодня на уроке вы познакомитесь с понятием «периметр» и будете учиться находить периметр фигур . Ребята, я очень хочу, чтобы урок получился интересным, познавательным. И в этом поможет мне наш гость. А кто в гостях у нас догадайтесь сами.
-Он герой произведения Алана Милна.
-Он очень любит мёд.
-У него есть друзья: Пятачок, ослик Иа, Кролик.
Правильно, это – Винни-Пух.(учитель открывает створку доски, там изображение Винни-Пуха)

2. Устный счёт.

У Винни- Пуха есть замечательный друг Пятачок. Однажды Пятачок спешил в гости к Винни-Пуху. С собой он взял много разноцветных воздушных шариков .Но подул сильный ветер и унес все шарики. Ребята, давайте поможем Пятачку поймать шары.
Выполняется задание №1 на странице 45.

Молодцы!

3. Работа над темой урока.

Ребята, Винни-Пух предлагает вам задание.
Задание №3 на странице 46.
Дети читают задание про себя. Затем один ребёнок читает вслух.

-Что надо сделать? (измерить стороны прямоугольника)

-Давайте вспомним, как надо измерять?

Измерьте стороны прямоугольника.

-Каковы они? (5см , 3см, 5см, 3см)

-Что надо найти? (сумму длин всех сторон)

-Как найти сумму длин всех сторон прямоугольника? ( надо их сложить)

-Найдите сумму всех сторон прямоугольника.

-Чему равна эта сумма? (16 cм )

В математике сумма длин всех сторон фигуры имеет своё название – периметр.
Периметр обозначается заглавной латинской буквой Р.

-Итак, чему равен периметр прямоугольника? (16 cм)

-Как, мы его находили? (складывали длины всех сторон прямоугольника)

Винни-Пух предлагает найти периметр треугольника.
Задание №4(а) на странице 46.

-С чего будем начинать? (надо измерить стороны треугольника)

-Чему равны стороны треугольника? (3см, 3см, 5см )

-Найдите сумму длин всех сторон треугольника, т.е. периметр.

Дети записывают решение в пустые окошки учебника. Один ученик комментирует.

Молодцы!

4. Физкультминутка

Топай, Мишка,
Хлопай, Мишка,
Приседай со мной, братишка,
Руки вверх, вперед и вниз
Улыбайся и садись.

5. Работа по теме урока.

Ребята, давайте напомним Винни-Пуху , что надо сделать, чтобы найти периметр фигуры.

-Измерить стороны фигуры.

-Сложит длины всех сторон.

Сейчас вы выполните задание №4(б) на странице 46.

Дети работают самостоятельно. Проверка задания.
Молодцы! Хорошо справились с заданием.

Друзья Винни-Пуха: Пятачок и Кролик построили забор вокруг огорода. Винни-Пух спрашивает, какова длина этого забора. Ребята, давайте ответим на вопрос Винни-Пуха.
Задание №5 на странице 46.
Дети читают задание про себя. Затем один ученик читает вслух.
-Какой формы огород?(прямоугольной)

-Каковы размеры огорода?(длина 20 м, ширина 10м)

-Можем мы найти длину огорода?(да)

-Что надо сделать?( сложить все стороны)

Запишем решение задачи .Один ученик работает у доски, остальные дети записывают решение задачи в тетрадях.

20+10+20+10=60(м)
Ответ: 60 метров длина забора.

-Что мы находили?( длину забора)

-Как мы это делали?(складывали все стороны)

-Кто запомнил, как называется сумма длин всех сторон?(периметром)

Значит,находя длину забора, мы находили………(.периметр). Мы ответили на вопрос Винни-Пуха.
Ребята, умение находить периметр фигур в жизни пригодится. Подумайте, в каких жизненных ситуациях это умение нам необходимо?

6. Закрепление изученного материала.

Однажды Винни-Пух навестил ослика Иа и вернулся домой. Ребята, найдем длину пути, который он прошёл.
Задание №7 на странице 47.

Винни –Пух очень любит решать примеры.
Давайте и мы потренируемся это делать.
Дети выполняют задание №8 ( 1 столбик) на странице 47.
Примеры записаны на доске. Коллективная работа.

Ребята, Винни-Пух принёс нам листочки с «магическим» квадратом. Вспомним, как надо заполнять «магический» квадрат.

Учащиеся выясняют, что сумма чисел в каждой строчке, каждом столбике и по диагонали должна равняться 18 и в соответствии с этим самостоятельно заполняют пустые клетки квадрата.
Проверка задания. «Магический» квадрат начерчен на доске , дети по одному у доски расставляют числа .

-Ребята, кто заполнил квадрат без ошибок? Вы, молодцы! Так держать.

-Кто допустил ошибки не огорчайтесь . Будьте внимательнее , в следующий раз у вас всё получится.

7. Домашняя работа.

-Открываем дневники, записываем домашнее задание. На странице учебника 46 вы решите задачу №6 , о том , как Кролик разбил свой огород на грядки. А на странице 47 решите примеры № 8 (2 столбик).

8. Итог урока. Рефлексия

-Что нового узнали на уроке?

-Чему научились?

-Что такое периметр?

-Как его найти?

-Как обозначается периметр?

-Для чего необходимо знать, как находить периметр?

Самооценка собственной деятельности на уроке.

-Как вы сегодня поработали?

-Как вы думайте, кто у нас сегодня на уроке очень хорошо работал?

-Что интересного было на уроке?

Мы думали, решали, отвечали
И друг другу помогали.
Поработали на пять,
Будем дружно отдыхать.

-Но сначала скажем «до свидания» нашему гостю – Винни-Пуху.
И будем надеяться на новую встречу с ним.

Периметр, формулы нахождения периметра

Периметр фигуры это длина всех ее сторон. Не все фигуры имеют периметр, например, шар не имеет периметра. Стандартное обозначение периметра в математике — буква P

Периметр треугольника

P = a + b + c

Периметр квадрата

Пусть длина стороны квадрата равна a. Квадрат имеет четыре равных стороны, поэтому периметр квадрата есть P = a + a + a +a или:

P = 4 ⋅ a

Периметр прямоугольника

Пусть длины сторон прямоугольника равны a иb.
Длина всех его сторон есть P = a + b + a + b или:

P = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b

Периметр параллелограмма

Пусть длины сторон параллелограмма равны a и b
Длина всех его сторон есть P = a + b + a + b, поэтому периметр параллелограмма есть:

P = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b

Как видно, периметр параллелограмма равен периметру прямоугольника.

Периметр ромба

P = 4 ⋅ a

Периметр равнобедренной трапеции

Пускай длины параллельных сторон трапеции a и b, а длины двух других сторон равна c(Как известно, равнобедренная трапеция имеет две равные стороны).

P = a + b + c + c = a + b + 2 ⋅ c

Периметр равностороннего треугольника

Как известно, равносторонний треугольник имеет 3 равные стороны. Если длина стороны равна a, тогда формула нахождения периметра есть P = a + a + a

Изучаем символы: как обозначается в математике площадь

В жизни каждого человека по достижении 7-летнего возраста появляется необходимость обучаться в средней общеобразовательной школе. В этом заведении ученик получает базовые знания и навыки. В рамках учебной программы по математике школьники узнают, как обозначается площадь. Необходимо рассмотреть, какой буквой и единицей измерения необходимо это делать.

Общие сведения

Изучение того, как и какой буквой обозначается общая площадь, необходимо начать с определения данного понятия в математике.

Под площадью понимается характеристика, имеющая числовое выражение. Ею описывается геометрическая фигура в двухмерном пространстве.

Объект, по отношению к которому возникает вопрос, как обозначить в письменном выражении площадь, может быть плоским или искривленным.Обозначение площади дает представление о размере и параметрах изучаемой площади.

В отдельных литературных источниках общая площадь встречается под названием квадратуры. Фигура, для которой возможно обозначить площадь, имеет наименование квадрируемой. Геометрические объекты, для которых значение площади в полученном решении оказалось одинаковым, встречаются под названием равновеликих.

Возможность определения площади и обозначения ее буквой появилась благодаря интегральному исчислению в математике. Общее представление о данном понятии было получено в результате формулирования теории меры множества. Постулаты, составляющие данную теорию, являются правдивыми для большинства объектов, изучаемых в геометрии.

Возможность практического измерения данной величины отмечается в результате использования планиметра и специальной палетки.

Важно! Основы геометрии: что это такое биссектриса треугольника

Площадь, обозначение которой становится доступным в результате ее числового выражения, характеризуется следующими параметрами:

  1. Положительная. В числе ее характеристик отсутствует понятие отрицательного значения.
  2. Аддитивная. Данный показатель относительно любого геометрического объекта определяется как суммированное значение объектов, образующих изучаемую фигуру при отсутствии внутренних ограничений.
  3. Инвариантная. Позволяет приравнивать площади фигур, которые в движении переходят друг в друга и полностью совпадают.
  4. Нормированная. Соответствует правилу, согласно которому 1 составляет площадь единичного квадрата.
  5. Монотонная. Параметр площади отдельной части геометрического объекта не превышает общую площадь всей изучаемой фигуры.

Знак площади, используемый в математике, появился в результате присвоения данного параметра для многоугольных геометрических объектов. Впоследствии перечень фигур, в отношении к площади которых использовалось обозначение буквой, увеличился на группу квадрируемых объектов.

Обратите внимание, к категории квадрируемой относится объект, поддающийся вписыванию в пределы многоугольника. Также достоверной является способность заключить многоугольник в данный квадрируемый объект.

Познавательно! Как найти и чему будет равна длина окружности

Общее понимание категории позволяет ее трактовать в качестве числовой характеристики. При этом этот признак используется по отношению только к поверхности двухмерной, находящейся в пространстве трехмерном.

Для данного показателя присуща система измерения. Основными единицами, дающими представление о величине геометрического объекта, являются сантиметры, миллиметры, дециметры, метры, километры. В ряде источников встречается упоминание проведенных измерений в арах, гектарах. Отличительная особенность, свойственная для рассматриваемого показателя, — возведение единиц измерения в квадрат.

Важно! Урок геометрии: как найти по формуле периметр треугольника

Варианты обозначения

Понятие используется не только в математике. Оно актуально и для физики.

В связи с разносторонностью применения возникает вопрос, какой буквой обозначается площадь.

В зависимости от дисциплины, в рамках которой применяется изучаемое понятие, становится очевидным ответ, какой буквой алфавита обозначают данную величину.

В таких науках, как физика и математика, используется знак латинского алфавита S. Данная буква имеет произношение {эс}.

Обратите внимание! Знаком S обозначают площадь таких фигур, как квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник, круг.

Среди вопросов, занимающих умы студентов высших учебных заведений, присутствует тема: как обозначить данную величину нескольких геометрических объектов. В данном случае в письменном варианте применяются нижние индексы. Среди значений, используемых в индексной системе обозначений, присутствуют числа.

Примером выступает обозначение S1, S2, S3. Также считается допустимым применение сокращенных наименований геометрических объектов, по отношению к которым производится числовое измерение. Так, при изучении треугольников для сокращенного названия используются наименования вершин, обозначенные латинскими буквами. В качестве примера могут быть SAOB, SCLE, SOME.

Интересно! Что значит вертикально и как выглядит вертикальная линия

Актуальным для учащихся является вопрос, как пишется в физике площадь. Следует отметить, что данным понятием характеризуется поперечное сечение. Считается допустимым использовать для уточненного обозначения нижний индекс. Сохраняется возможность написания простых чисел в индексной системе.

Вопрос, как пишется в строительной механике и сопромате данная величина, заставляет задуматься студентов. В данных дисциплинах под буквой латинского алфавита S подразумевается обозначение статического момента. Так выражается площадь по отношению к рассматриваемой оси. В качестве символа, обозначающего данный показатель, используется буква латинского алфавита A или F.

>Полезное видео

Подведем итоги

Пространственное представление об изучаемом геометрическом объекте становится возможным благодаря площади. Обозначение данного показателя разнится в зависимости от выбранной дисциплины.

Более подробную информацию по математическим нюансам можно посмотреть .

Периметр

Периметр — длина контура замкнутой плоской фигуры, длина границы. У этого термина существуют и другие значения, см. Периметр (значения).

Пери́метр (др.-греч. περίμετρον — окружность, др.-греч. περιμετρέο — измеряю вокруг) — общая длина границы фигуры (чаще всего на плоскости). Имеет ту же размерность величин, что и длина.

Иногда периметром называют границу геометрической фигуры.

Вычисление периметра имеет существенное практическое значение. Например, для вычисления длины ограды вокруг сада или участка. Периметр колеса (окружности) определяет, насколько далеко оно продвинется при полном обороте. Таким же образом, длина нитки, намотанной на катушку, тесно связана с периметром катушки.

Формулы

фигура формула переменные
окружность 2 π r = π d {\displaystyle 2\pi r=\pi d} где r {\displaystyle r} — радиус окружности, а d {\displaystyle d} — диаметр.
треугольник a + b + c {\displaystyle a+b+c} где a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} — длины сторон треугольника.
квадрат/ромб 4 a {\displaystyle 4a} где a {\displaystyle a} — длина стороны.
прямоугольник 2 ( l + w ) {\displaystyle 2(l+w)} где l {\displaystyle l} — длина (основания), а w {\displaystyle w} — ширина.
равносторонний многоугольник n × a {\displaystyle n\times a} где n {\displaystyle n} — число сторон, а a {\displaystyle a} — длина сторон.
правильный многоугольник 2 n b sin ⁡ ( π n ) {\displaystyle 2nb\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)} где n {\displaystyle n} — число сторон, а b {\displaystyle b} — расстояние от центра многоугольника до одной из вершин многоугольника.
общий многоугольник a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n = ∑ i = 1 n a i {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}} где a i {\displaystyle a_{i}} — длина i {\displaystyle i} -й (1, 2, 3 … n) стороны n-угольника.

Многоугольники

Периметр прямоугольника.

Многоугольники являются основными фигурами для определения периметров, и не только потому, что они являются простейшими фигурами, но и потому, что периметры многих фигур вычисляются путём аппроксимации их последовательностью многоугольников. Первым известным математиком, который использовал этот подход, был Архимед, который аппроксимировал периметр окружности путём описывания около неё правильных многоугольников.

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон. В частности, периметр прямоугольника, имеющего ширину w {\displaystyle w} и длину ℓ {\displaystyle \ell } , равен 2 w + 2 ℓ {\displaystyle 2w+2\ell } .

Равносторонний многоугольник — это многоугольник, имеющий равные длины сторон (например ромб — это равносторонний многоугольник с 4 сторонами). Чтобы вычислить периметр равностороннего многоугольника, нужно умножить число сторон на общую длину стороны.

Периметр правильного многоугольника можно вычислить по числу сторон и его радиусу, то есть расстоянию от центра до вершин. Длину стороны можно вычислить, используя тригонометрию. Если R — радиус многоугольника, а n — число сторон, периметр равен

2 n R sin ⁡ ( 180 ∘ n ) . {\displaystyle 2nR\sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right).}

Периметр окружности

Если диаметр окружности равен 1, её периметр равен π.

Периметр окружности пропорционален её диаметру (и радиусу). То есть, существует константа π такая, что если P — периметр окружности, а D — её диаметр, то:

P = π ⋅ D . {\displaystyle P=\pi \cdot {D}.}

Для радиуса r окружности формула превращается в

P = 2 π ⋅ r . {\displaystyle {P}={2}\pi \cdot {r}.}

Для вычисления периметра окружности знание радиуса или диаметра и числа π достаточно. Проблема заключается в том, что π не является рациональным (его нельзя выразить в виде дроби двух целых чисел) и даже не является алгебраическим (оно не является корнем никакого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами). Таким образом, получение точного приближения к π важно для вычислений. Нахождение знаков π относится ко многим областям, таким как математический анализ и теория алгоритмов.

Осмысление периметра

Чем мельче структура фигуры, тем меньше площадь и тем больше периметр. Выпуклая оболочка остаётся той же самой.Периметр крепости Нёф-Бризах сложный. Кратчайший путь для обхода крепости — по границе выпуклой оболочки. Основные статьи: Площадь и выпуклая оболочка

Периметр и площадь являются двумя основными измерениями геометрических фигур, их часто путают. Нередко также считают, что увеличение одной из этих величин приводит к увеличению другой. Действительно, увеличение (или уменьшение) размера фигуры приводит к увеличению (или уменьшению) её площади, так же как и её периметра. Так, например, если нарисовать карту поля в масштабе 1/10 000, действительные размеры периметра можно вычислить простым умножением на 10 000. Действительная площадь будет в 10 0002 раз больше площади фигуры на карте.

Тем не менее, нет никакой связи между площадью и периметром фигур. Например, периметр прямоугольника шириной 0,001 и длиной 1000 чуть больше 2000, в то время, как периметр прямоугольника шириной 0,5 и длиной 2 равен 5. Площади обеих фигур равны 1.

Прокл (V-й век) писал, что греческие крестьяне делили поля, опираясь на периметры, однако урожай с поля пропорционален площади, а не периметру, и много наивных крестьян получали поля с большим периметром, но малой площадью.

Если удалить часть фигуры, её площадь уменьшится, а вот периметр может и не уменьшиться. В случае очень неправильных фигур некоторые могут спутать периметр с выпуклой оболочкой. Выпуклую оболочку визуально можно представить как резинку, натянутую вокруг фигуры. На рисунке слева все фигуры имеют одну выпуклую оболочку (шестиугольник).

Изопериметрическая задача

Подробное рассмотрение темы: Изопериметрическая задача

Изопериметрическая задача — это задача нахождения фигуры с максимальной площадью среди фигур, имеющих заданный периметр. Решение интуитивно — это окружность. В частности поэтому капли жира в бульоне имеют форму кружочков.

Задача выглядит простой, но строгое математическое доказательство сложно. Изопериметрическая задача иногда упрощается — найти четырёхугольник, треугольник или другую определённую фигуру с наибольшей площадью среди имеющих заданный периметр. Решение изопериметрической задачи для четырёхугольников — квадрат, для треугольников — правильный треугольник. В общем случае, многоугольник с n сторонами имеет максимальную площадь при заданном периметре, если он является правильным, что ближе к окружности по сравнению с неправильными многоугольниками.

> Вариации и обобщения

  • Полупериметр — половина периметра. Употребляется в основном в геометрии треугольника.

См. также

  • Длина кривой
  • Площадь фигуры
  • Задача Дидоны
  • Множество Каччопполи
  • Парадокс береговой линии
  • Изопериметрическая задача
  • Теорема Пифагора
  • Смоченный периметр

> Примечания

  1. Heath, 1981, с. 206.

> Литература

  • T. Heath. A History of Greek Mathematics. — Dover Publications, 1981. — Т. 2. — ISBN 0-486-24074-6.

Ссылки

В Викисловаре есть статья «периметр»

  • Weisstein, Eric W. Perimeter (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Semiperimeter (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно:

  • Проверить качество перевода с иностранного языка.

Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.

Как обозначают периметр

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *